开普勒第二定律的应用

宋健

　　正如左图，行星在远日点从A运行到B，与在近日点从C运行到D的时间是相同的，根据开普勒第二定律可知，扇形OAB和扇形OCD面积相等。但是在椭圆中，扇形面积的求法比较困难，这也是让很多同学束手无策的地方。那么让我们来想想看：当时间很短时，扇形是不是非常趋近于一个等腰三角形呢？对了，这个等腰三角形底边上的高正是行星到太阳的距离r，而底边长可由v·t求得（在短时间内，行星运动近似匀速）。两三角形面积相等，于是有：

　　1/2·v·t·r=1/2·v’·t·r’(v、r分别为近日点时天体的线速度和到中心天体的距离，v’、r’ 分别为远日点时天体的线速度和到中心天体的距离)

　　化简得：v/v’=r’/r

　　这是个很有用的式子，大家应学会推导。它有什么用呢？我们来看一道题：

　　从地球（E）向火星（M）发射探测器，沿右图所示与地球轨道和火星轨道相切的椭圆轨道运行，已知发射出的速度（即在E点时的速度）为v，求到达火星时的速度（即在M点时的速度）v’。

　　解：由常识知，地球轨道半径约为1AU，火星为1.5AU。

　　根据开普勒第二定律得：1/2·v·t·r=1/2·v’·t·r’

　　化简得：v/v’=r’/r

　　v/v’=1.5/1

　　v’=2/3·v

　　当然，竞赛中的题目不会这么简单，而是许多知识点的综合（比如与能量综合），应用这个公式仅是其中的一步，但必不可少。因此大家一定要把每一部分内容都要学懂，做起题来才能得心应手。（空间天文网 http://ccce.51.net）

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